Probability model

Model은 무엇인가?

Model은 일종의 현실 세계를 근사(approximation)하여 표현하는 방법이다. 여러 방법이 있겠지만, 수식을 활용하여 실제 세계를 표현하는 Mathematical model이 유용하게 쓰이고 있으며, 이 중 Random Variable과 Random Process에서 사용하는 Mathematical model을 probability model이라고 부른다

Probability model은 왜 쓰는 것일까?

그러니까 왜 확률을 쓰는 것일까? 주사위 하나를 던질 때에도 어떤 숫자가 나올지 궁금하다면, 원리상으로는 모든 $\vec{F} = m\vec{a}$를 계산하면 되는 것이 아닐까?  그러나 주사위를 매번 던질 때마다 슈퍼컴퓨터를 쓸 수는 없을터. 확률 모델은 복잡하고도 많은 정보들을 단순화시키는 유용한 방법이다. 단순화시켰음에도 유용한 결과를 주는 방법이라면 굳이 안쓸 이유가?

Probability model

probabiility model은 아래의 요소로 구성된다고 볼 수 있는데,
1. Random Experiment : 관심사 / 측정하고자 하는 실험값 (ex : 주사위 숫자에 관심이 있을 수도 있겠지요)
2. Sample Space ($S$) : 실험했을 때 나올 수 있는 모든 경우를 모아놓은 집합 (ex $ S = \{1,2,3,4,5,6\} $). 각각의 요소를outcome 이라고 한다
3. relative frequency( $ lim_{n\rightarrow \infty} {N_k(n) \over n}$)
$P_k$라고도 하는데, 1) 과연 수렴하는지 알 수 없고, 2) 현실적으로 $\infty$ 실험을 할 수 없어서 위와 같은 경우는 잘 쓰지 않는다.

이런 모델 기반 위에서 결과적으로 $$ 현실 \; Event \overset{P}{\longrightarrow} number $$ 를 확률($P$)이라고 부른다

Outcome & Event

sample space $S = \{1,2,3,4,5,6\}$ 이라고 할 때 이때의 element들을 outcome 이라고 부른다. 이러한 outcome들을 묶어 부분집합을 만드는데, 이를 event 라고 부른다.

가령 $S$ 가 주사위를 던질 때 나올 수 있는 모든 경우라고 할 때, 홀수만 나올 사건을 event로 표현하면 $A = \{1,3,5\}$라고 할 수 있다. 자명하게도 $ A \subset S$

Probability

event $A$를 정의했다면, 확률 $P$는 $ P[A] \in [0,1]$, $ A \overset{P}{\rightarrow} [0,1]$ 라고 볼 수 있다. 집합을 받아서 [0,1]로 보내는 mapping인 셈이다. 이러한 함수 P가 확률이 되기 위해서는 아래와 같은 성질을 만족해야 한다.

Axiom of probability : $P$가 가져야할 필수적인 성질

$S$ : Sample Space, $A$ : Event, subset of $S$
- $0 \leq P[A] \leq 1$
- $P[S] = 1$
- event $A$와 $B$가 동시에 일어나지 않는다면, $P[A\:or\:B] = P[A] + P[B]$

우리가 다루는 확률은 이러한 기반 위에 있는 것이다. 동전 던지기에서 앞면이 나올 확률서부터, 내가 오늘 막차에 탈 확률, 로또에 당첨될 확률까지 일상에서 언급되는 확률들을 수학적으로 잘 기술하기 위해 사용되는 함수 $P$는 이러한 기반 위에 다뤄짐으로써 현실 세계를 잘 묘사할 수 있게 된다.

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참고자료
Alberto Leon - Probability, Statistics, and Random Processes For Electrical Engineering, 3rd edtion 을 참고하고 있습니다